【一次方程式の文章題⑦】「原価・定価・売値（利益）」の買い物問題を図解で完全攻略｜3割増しと2割引きの仕組みをバー図と天秤で一発立式する

第6回「列車が橋やトンネルを渡る問題」をもって、全4回にわたる「速さ・時間・道のり」シリーズを完全制覇しました。

連載第7回となる今回からは、いよいよ一次方程式の文章題のラストスパート——「割合（パーセント・歩合）と食塩水」シリーズ（全3回）に突入します！その第1弾として、多くの中学生が言葉の意味と計算でつまずく「原価・定価・売値（利益）の買い物問題」を、NORIとTAKAと一緒に図を描きながらスッキリ攻略していきましょう！

01. 「原価・定価・売値・利益」って何？ お店の裏側をイメージしよう！

TAKA

うわあ、出たよ「原価・定価・利益」……！普段のお買い物で「2割引き」くらいならなんとなく嬉しいなって分かるけど、「原価の3割の利益を見込んで定価をつけた」とか言われると、もう日本語の意味からして頭が真っ白になっちゃうよ！

NORI

大丈夫！まずは数学の前に、TAKAが「雑貨屋さんの店長」になったつもりで、お店の値段が決まる4つの言葉を整理してみよう。
① 原価（仕入れ値）：お店が問屋さんから品物を買ってきた「もとの値段」
② 定価：お店が儲けを上乗せして値札に書いた「最初の売り出し価格」
③ 売値（販売価格）：セールで値引きして「実際にお客さんに売った値段」
④ 利益（もうけ）：実際の「売値」から、もとの「原価」を引いて手元に残ったお金

TAKA

なるほど！たとえば私が 1000円 で仕入れてきたバッグ（原価）に、300円 の儲けを乗せて 1300円 の値札（定価）をつける、みたいなことだね！

NORI

その通り！では、今回求めたい「品物の原価を x 円」と置いて、まずは前半の「原価の3割の利益を見込んでつけた定価」を文字式で表してみよう。文字式の文章題トレーニングでも練習した通り、もとにする原価 x 円を「1（10割）」と見るのがポイントだよ。

TAKA

えっと、「1割」は小数にすると 0.1 だよね。「3割の利益を見込む」ってことは、もとの 1 に 0.3 を上乗せするから、1 + 0.3 = 1.3 倍！だから定価は 1.3x （円） だね！

02. 最大の罠！「定価の2割引き」はどう計算する？

NORI

素晴らしい！では、ここからがテストで一番間違いが多い最大の難所、「定価の 2割引き で売ったときの売値（実際の販売価格）」だよ。「3割増やして、2割引きにしたんだから、差し引き1割増しの 1.1x 円でしょ！」と書いてバツになる人が毎年続出するんだ。

TAKA

えっ！？ 3割増えて2割減ったんだから、3 - 2 = 1 で 1.1x 円じゃないの！？ なんでダメなの！？

NORI

なぜなら、「2割引き」の基準（もとにする量）は、最初の「原価（x 円）」ではなく、ふくらんだ後の「定価（1.3x 円）」だからなんだ！下の図解①で、値段のバーがどう変化するか見てみよう。

TAKA

あっ！！ 図解①を見るとすごくよく分かる！「定価の2割引き」ってことは、「定価（1.3x 円）の全体を新しい『1（10割）』と見て、そのうちの2割を削る」ってことなんだ！もとの x 円より大きくなった 1.3x 円の2割を引くから、単純な引き算にはならないんだね！

NORI

大正解！「2割（0.2）を引く」ということは、残って実際にお客さんが払うのは定価の「8割（1 - 0.2 = 0.8 倍）」だね。だから、定価のかたまり 1.3x に 0.8 を掛け算してみよう！

TAKA

1.3x \times 0.8 を計算すると…… 1.3 \times 0.8 = 1.04 だから、実際に売った値段（売値）は 1.04x （円） になるんだね！

03. 「売値 − 原価 ＝ 利益」を天秤に乗せて方程式を解く！

NORI

これで、もとの「原価（x 円）」から「定価（1.3x 円）」、実際に売った「売値（1.04x 円）」までがすべて揃ったね！下の図解②の整理表で確認してみよう。

NORI

最後に、問題文の締めくくりにある「80円 の利益がありました」を使って方程式を立てよう。お店の「利益（もうけ）」は、どういう引き算で出せるかな？

TAKA

お客さんから受け取った「売値（1.04x 円）」から、最初に仕入れで払った「原価（x 円）」を引けば、手元に残った利益（80円）になるよね！だから式は……
1.04x - x = 80 だ！（※または 1.3x \times 0.8 - x = 80 と書いてもOKだね！）

TAKA

よし、小数の方程式を解くよ！小数第2位（1.04）まであるから、両辺のすべての項を 100倍 して整数に直せばいいんだよね！
1.04x - x = 80
両辺のすべての項に 100 を掛けて……（※真ん中の -x は -1x だから -100x、右辺の 80 も忘れずに 100倍！）
104x - 100x = 8000
4x = 8000
両辺を 4 で割って、x = 2000 ！
出たー！この品物の原価は 2000円 だ！

NORI

計算も100倍の処理も完璧だね！では最後に、本当に原価 2000円 でストーリー通りに 80円 の利益になるか、お店シミュレーションで確かめ算（検算）してみよう！

TAKA

えっと、原価が 2000円 だとすると……
① 定価（3割増し）：2000 \times 1.3 = 2600（円）の値札をつける！
② 売値（定価の2割引き）：2600 \times 0.8 = 2080（円）でお客さんに売る！
③ 利益（売値 − 原価）：2080 - 2000 = 80（円）の利益！
わあ、問題文と1円のズレもなくピタッと 80円の利益 になった！答えは間違いなく 「2000円」 だね！

04. 今回の攻略まとめ（原価・定価・利益の買い物問題編）

次回・第8回は、割合シリーズの第2弾にして入試・実力テストの大定番——「【割合②】昨年と今年の生徒数の増減問題」を、「全体の人数で立てる方法」と「増減の差だけで一気に解く方法」の2通りで完全攻略します！

■ 連載「NORIとTAKAの『一次方程式の文章題』完全攻略（全9回）」：
・第1回：【過不足①】アメを配る問題
・第2回：【過不足②】長椅子（ベンチ）に座る問題
・第3回：【速さ①】忘れ物を追いかける問題
・第4回：【速さ②】途中で速さが変わる問題
・第5回：【速さ③】池の周りを回る問題
・第6回：【速さ④】列車が橋（トンネル）を渡る問題
・第7回：【割合①】原価・定価・割引の買い物問題（本記事）
・第8回：【割合②】昨年と今年の生徒数の増減問題（次回公開）
・第9回：【割合③】食塩水の濃度の問題

■ 基礎となる文字式モデルの解説はこちら：
➔ 【中1数学・集中トレーニング②】文字式の文章題を攻略する「逆照射ドリル」｜おつり・速さ・割合の立式バグを具体値と自己検算で防ぐ

■ あわせて読みたい（STEM LAB 経済・数理コラム）：
➔ 子どもを勉強に向かわせる「ご褒美」は悪なのか？｜中室牧子『「学力」の経済学』と『お金の教育がすべて。』から考える科学的動機づけ