【一次方程式の文章題⑥】「列車が橋やトンネルを渡る問題」を図解で完全攻略｜「渡りきるとは＋列車」「完全に隠れるとは−列車」になる視覚化メソッド

第5回「池の周りを回る問題」では、円周トラックを切り開いて「出会う（和＝1周）」「追いつく（差＝1周）」の2パターンを制覇しました。

連載第6回となる今回は、いよいよ「速さ・時間・道のり」全4回シリーズの最終ボス——「列車が鉄橋やトンネルを通過する問題（通過算）」を、NORIとTAKAと一緒に図を描きながら完全攻略していきます！

01. なぜ列車の問題では「橋の長さ」だけではダメなの？

TAKA

うわあ、出た！電車の問題だ……。「渡り始めてから渡り終わるまで」とか「完全にトンネルの中に隠れている間」とか、いつも電車の長さを足すのか引くのかゴチャゴチャになって間違えちゃうんだよね……。

NORI

その混乱、すごくよく分かるよ！これまで登場した「人間」や「自転車」は、長さがほぼゼロの「点」として考えられたよね。でも列車には x m という長い車体がある。だから、車体全体を見ていると目が回ってしまうんだ。

TAKA

じゃあ、どこを見て考えればいいの？

NORI

秘訣はたったひとつ。「列車の先頭（一番前の運転席）に赤い目印をつけて、その先頭が何m進んだかだけを追いかけること」だよ！まずは求める「列車の長さを x m」と置いて、2つの場面を順番にイラストで見てみよう。

02. 鉄橋を「渡りきる」ときと、トンネルに「完全に隠れる」ときの図解

NORI

まずは前半の「長さ 560m の鉄橋を渡り始めてから、渡り終わるまでに 30秒 かかった」という場面だよ。「渡り終わる」というのは、先頭が橋の向こう岸に着いた瞬間かな？それとも一番後ろの車両（最後尾）が橋を出た瞬間かな？

TAKA

えっと、先頭が向こう岸に着いただけじゃ、まだ後ろの車両は橋の上に乗ってるから……一番後ろのお尻の車両が橋から完全に抜けた瞬間が「渡り終わり」だよね！

NORI

その通り！では、そのとき「先頭の赤い点」がどこからどこまで動いたか、下の図解①で「トンネルに完全に隠れる場面」と見比べてみよう！

TAKA

あっ！！ 図解①の上の図（場面A）を見ると、一番後ろのお尻が橋を抜けきるには、先頭の赤い点は「鉄橋の 560m」を進んだあと、さらに「自分の車体の長さ x m」の分だけ前へ飛び出さないといけないんだ！だから進んだ道のりは足し算で 560 + x （m） だね！

NORI

完璧な観察眼だね！では、図解①の下の図（場面B）——「長さ 1120m のトンネルの中で、列車全体が完全に隠れていた 40秒 間」はどうなっているかな？

TAKA

えっと、「全体が完全に隠れた瞬間」ってことは、一番後ろのお尻がトンネルの入り口に入った瞬間だよね。そのとき、先頭の赤い点はすでにトンネルの入り口から x m 奥に進んだ場所にいる！そこからトンネルの出口に先頭が着く瞬間までだから……トンネル全体の 1120m から左端の x m を引き算して、進んだ道のりは 1120 - x （m） だ！

NORI

大正解！丸暗記ではなく、「先頭の赤い点のスタート位置とゴール位置」を見るだけで、なぜ足し算（560 + x）になり、なぜ引き算（1120 - x）になるのかが100%わかるよね。

03. 整理表を埋めて「一定の速さ」を天秤に乗せる！

NORI

2つの場面の「道のり」と「時間」が出揃ったから、いつものように整理表にまとめてみよう！今回は問題文の最初に「一定の速さで走っている列車」と書いてあるね。つまり、鉄橋を渡るときの秒速も、トンネルの中を走るときの秒速もまったく同じなんだ。

TAKA

「速さ＝道のり÷時間」だから、割り算をそのまま分数にして表を埋めればいいんだね！
・鉄橋を渡るときの秒速：\frac{560 + x}{30} （m/秒）
・トンネルの中の秒速：\frac{1120 - x}{40} （m/秒）
同じ列車が「一定の速さ」で走っているんだから、この2つの分数をそのまま天秤に乗せてイコールで結べばいいんだね！

TAKA

よし、方程式は \frac{560 + x}{30} = \frac{1120 - x}{40} だ！
第4回で練習した「分母払い」を使って、分母の 30 と 40 の最小公倍数である 120 を両辺に掛けるよ！分子のかたまりにカッコをつけるのを忘れずに……
\frac{560 + x}{30} \times 120 = \frac{1120 - x}{40} \times 120
約分すると、左辺は 4、右辺は 3 が残るから、
4(560 + x) = 3(1120 - x)
分配法則でカッコを外して……
2240 + 4x = 3360 - 3x
移項して整理すると、
4x + 3x = 3360 - 2240
7x = 1120
両辺を 7 で割って、x = 160 ！
やった！列車の長さは 160m だ！

NORI

お見事！では最後に、問題文で聞かれているもうひとつの答え——「列車の秒速」を出して、両方の式で同じ速さになるか検算しよう！

TAKA

x = 160 をさっきの速さの式に代入すると……
・場面A（鉄橋）の秒速：(560 + 160) \div 30 = 720 \div 30 = 24 （秒速 24\text{ m}）
・場面B（トンネル）の秒速：(1120 - 160) \div 40 = 960 \div 40 = 24 （秒速 24\text{ m}）
わあ、どっちで計算してもピタッと 秒速 24m になった！よって答えは「列車の長さ 160m、速さ 秒速 24m」だね！

04. 今回の攻略まとめ（列車の通過問題編）

これで全4回にわたる「速さ・時間・道のり」シリーズも完全制覇です！
次回・第7回からは、いよいよ文章題のラストスパートである「割合（パーセント・歩合）と食塩水」シリーズ（全3回）に入ります。まずは第7回「【割合①】原価・定価・割引の買い物問題」を図解でスッキリ攻略しましょう！

■ 連載「NORIとTAKAの『一次方程式の文章題』完全攻略（全9回）」：
・第1回：【過不足①】アメを配る問題
・第2回：【過不足②】長椅子（ベンチ）に座る問題
・第3回：【速さ①】忘れ物を追いかける問題
・第4回：【速さ②】途中で速さが変わる問題
・第5回：【速さ③】池の周りを回る問題
・第6回：【速さ④】列車が橋（トンネル）を渡る問題（本記事）
・第7回：【割合①】原価・定価・割引の買い物問題（次回公開）
・第8回：【割合②】昨年と今年の生徒数の増減問題
・第9回：【割合③】食塩水の濃度の問題

■ あわせて読みたい（STEM LAB 物理・数理コラム）：
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