【一次方程式の文章題④】「途中で速さが変わる問題」を図解で完全攻略｜残りの道のり（全体−x）の置き方と、分数の足し算（分母払い）の鉄則

第3回「忘れ物を追いかける問題」では、「速さ・時間・道のり」の整理表を使って2人の移動距離が等しくなる瞬間をとらえました。

連載第4回となる今回は、同じ速さシリーズの中でも定期テストで必ずと言っていいほど出題される超頻出パターン——「途中で速さが変わる問題（歩きから走りに切り替える問題）」を、NORIとTAKAと一緒に攻略していきます！

01. 「走った道のり」を新しい文字を使わずに表すには？

TAKA

うわあ、今回は登場人物は1人なのに、途中で「歩き」から「走り」にスピードが変わってる！しかも最後に「歩いた道のりと、走った道のりをそれぞれ求めなさい」ってまた2つ聞かれてるよ……。どっちを x にすればいいの？

NORI

まずは落ち着いて、状況を図にしてみよう！実は「2人の登場人物（兄と弟）」が、「前半の歩き区間」と「後半の走り区間」の2つの区間に変わっただけで、整理のしかたは前回とまったく同じなんだ。まずは前半の「歩いた道のりを x m」と置いて、家から駅までの線分図を見てみよう。

NORI

家から駅までの全体の道のりは 1500m だよね。そのうち、前半の「歩いた道のり」が x m だとすると、残りの「走った道のり」はどう表せるかな？

TAKA

あっ、図で見るとすごく簡単！全体が 1500m で、そこから歩いた x m の部分を切り取ればいいんだから、残りは引き算で 1500 - x （m） だね！

NORI

大正解！「合わせて〇〇になる2つの量」が出てきたら、片方を x、もう片方を （全体）- x と表す。これはこれから先もずっと使う超重要テクニックだよ。

02. 「速さ・時間・道のり」の整理表を分数で埋める

NORI

これで「道のり」と「速さ」が揃ったから、前回と同じように「速さ・時間・道のり」の整理表を埋めてみよう！今回は「時間」の欄が空欄になっているけれど、「時間」はどうやったら計算できるかな？

TAKA

えっと、「道のり＝速さ×時間」の逆だから……「時間＝道のり÷速さ」だよね！でも、x \div 60 なんて割り切れないよ……？

NORI

割り切れないときは、中学生の最強の武器である「分数（\frac{\text{道のり}}{\text{速さ}}）」の形でそのまま表に書き込めばOKだよ！

TAKA

なるほど！割り算をそのまま分数にするだけでいいんだ！
・歩いた時間：道のり x ÷ 速さ 60 ＝ \frac{x}{60} （分）
・走った時間：道のり (1500 - x) ÷ 速さ 150 ＝ \frac{1500 - x}{150} （分）
わあ、これなら無理に小数にしなくても一瞬で表が埋まっちゃうね！

03. 「時間の合計＝16分」を天秤に乗せ、分母を払って解く！

NORI

整理表が完成したら、まだ使っていない最後のヒントを探そう。問題文の中に「家を出発してからちょうど 16分 で駅に着きました」とあるね。これを式にするとどうなるかな？

TAKA

えっと、「歩いた時間」と「走った時間」を合わせたら 16分 になったんだから……2つの分数を足し算して \frac{x}{60} + \frac{1500 - x}{150} = 16 だ！

TAKA

式はできたけど、分母が 60 と 150 ってすごく大きい分数の方程式だよ……。一次方程式の「分母払い」を使うんだよね？ 両辺に何を掛ければいいの？

NORI

60 と 150 の最小公倍数を探そう！150 を2倍すると 300 だね。300 は 60 でもちょうど割り切れる（60 \times 5 = 300）から、両辺のすべての項に 300 を掛けて一気に分母を払おう！このとき、右辺の 16 にも忘れずに 300 を掛けることと、1500 - x という分子のかたまりには必ずカッコをつけるのが最大のポイントだよ。

TAKA

よし、やってみるよ！両辺の全部の項に 300 を掛けて……
\frac{x}{60} \times 300 + \frac{1500 - x}{150} \times 300 = 16 \times 300
約分すると、左の項は 5、真ん中の項は 2 が残るから、カッコをつけて……
5x + 2(1500 - x) = 4800
わっ、一気に分数が消えてスッキリした！分配法則でカッコを外して解くよ！
5x + 3000 - 2x = 4800
3x = 4800 - 3000
3x = 1800
両辺を 3 で割って、x = 600 ！
歩いた道のりは 600m だ！そして残りの「走った道のり」は、1500 - 600 = 900 で 900m だね！

NORI

お見事！最後に、出た道のりを使って本当に合計16分になるか確かめ算（検算）をしてみよう。
・歩いた時間：600\text{ m} \div \text{分速 }60\text{ m} = 10\text{ 分}
・走った時間：900\text{ m} \div \text{分速 }150\text{ m} = 6\text{ 分}
・合計時間：10\text{ 分} + 6\text{ 分} = 16\text{ 分} ！

TAKA

ほんとだ、ピタッと16分になった！よって答えは「歩いた道のり 600m、走った道のり 900m」だね！

04. 今回の攻略まとめ（途中で速さが変わる編）

次回・第5回は、速さシリーズの第3弾として、図形の上を2人が動く人気問題——「【速さ③】池の周りを回る問題（反対方向・同じ方向）」を図解でスッキリ攻略します！

■ 連載「NORIとTAKAの『一次方程式の文章題』完全攻略（全9回）」：
・第1回：【過不足①】アメを配る問題
・第2回：【過不足②】長椅子（ベンチ）に座る問題
・第3回：【速さ①】忘れ物を追いかける問題
・第4回：【速さ②】途中で速さが変わる問題（本記事）
・第5回：【速さ③】池の周りを回る問題（次回公開）
・第6回：【速さ④】列車が橋（トンネル）を渡る問題
・第7回：【割合①】原価・定価・割引の買い物問題
・第8回：【割合②】昨年と今年の生徒数の増減問題
・第9回：【割合③】食塩水の濃度の問題

■ あわせて読みたい（STEM LAB 関連ドリル）：
➔ 【中1数学・集中トレーニング③】「文字式の通分」と「方程式の分母払い」完全識別ドリル｜横に並べて同時に解き、最大の失点バグを根絶する