【一次方程式の文章題⑤】「池の周りを回る問題」を図解で完全攻略｜反対方向（出会う＝和が1周）と、同じ方向（追いつく＝差が1周）の決定的な違い

第4回「途中で速さが変わる問題」では、家から駅までの1本の道を2つの区間に分けて攻略しました。

連載第5回となる今回は、速さシリーズの第3弾として、まっすぐな道ではなくぐるっと1周するコースを2人が走る大人気テーマ——「池の周りを回る問題（反対方向・同じ方向）」を、NORIとTAKAと一緒に図解で完全攻略していきます！

01. パターン①：「反対方向」に進んで出会うときはどうなる？

TAKA

うわあ、今回は（1）と（2）の2問セットだ！しかも道が丸い池になってるよ……。まずは（1）の「反対方向に進むとき、初めて出会うのは何分後か」から考えたいんだけど、丸いコースだとどうやって線分図にすればいいの？

NORI

いい質問だね！まずは基本通り、求める時間を x 分後として「速さ・時間・道のり」の整理表を作ってみよう。実は（1）も（2）も、2人が進んだ道のりの表し方はまったく同じなんだ。

TAKA

ほんとだ！2人とも同時にスタートして x 分間動くから、
・兄の進んだ道のり：140x （m）
・弟の進んだ道のり：100x （m）
で表は一瞬で埋まったよ！でも、ここからどうやって「池1周 1200m」と結びつけるの？

NORI

よし、2人がスタート地点から「反対方向（左回りと右回り）」に進んで、向こう側で「パチン！」と出会う瞬間を上から見てみよう！

TAKA

あっ！！ 兄が左側からグルッと回ってきた道のり（青）と、弟が右側から回ってきた道のり（オレンジ）が、出会った地点でピタッとつながって「池のまわり1周分（1200m）」になってる！

NORI

その通り！丸い池をハサミでパチンと切って1本のまっすぐな線に伸ばすと、2人が両端から向かい合って歩いて、合計で 1200m 進んだのと同じことなんだ。だから（1）の式はどうなるかな？

TAKA

2人の道のりを足し算すれば1周分になるから、
140x + 100x = 1200 だ！
これなら簡単！計算すると……
240x = 1200
両辺を 240 で割って、x = 5 ！
（1）の答えは 5分後 だね！（※確かめ算しても、兄 700\text{ m} ＋ 弟 500\text{ m} ＝ ちょうど1周 1200\text{ m} でバッチリ！）

02. パターン②：「同じ方向」に進んで追いつくときはなぜ引き算？

NORI

（1）は完璧だね！ではいよいよテストでみんなが引っかかる（2）のボス、「2人が【同じ方向】に進むとき、兄が弟に初めて追いつくのは何分後か」へ行こう。ここでもう一度、求める時間を新しく x 分後として考えるよ。

TAKA

ええっと……第3回の「忘れ物を追いかける問題」では、「追いつく＝2人の進んだ道のりがイコール」だったよね？ でも今回、同じように 140x = 100x にしたら、x = 0（スタートの瞬間）になっちゃうよ！？ なんで！？

NORI

最高のツッコミだね！第3回では弟が「15分遅れて」スタートしたけれど、今回は「同じ場所から同時にスタート」しているよね。速い兄と遅い弟が同時に同じ方向へ走り出したら、どうやって兄は弟の背中に追いつくんだろう？ 図で見てみよう！

TAKA

うわあ、図で見るとめちゃくちゃよく分かる！！ 同時にスタートした兄は、どんどん弟を引き離して、池をグルッと1周まるごと余分に回って、後ろから弟の背中に追いつく（周回遅れにする）んだ！！

NORI

大正解！陸上競技やマラソンのトラックで、速い選手が遅い選手を「1周抜き」する瞬間とまったく同じなんだよ。つまり、兄が弟に初めて追いついたとき、兄が進んだ道のり（140x）は、弟が進んだ道のり（100x）よりも「ちょうど池1周分（1200m）だけ長い」ということになるね。

TAKA

なるほど！！「兄の道のり」から「弟の道のり」を引き算した差が、ちょうど池1周の 1200m になるんだ！だから方程式は……
140x - 100x = 1200 だね！

03. 天秤に乗せて（1）と（2）の式を比べてみよう

NORI

いまTAKAが見抜いた（1）反対方向と（2）同じ方向の2つの式を並べて比べてみよう。たった1箇所、プラスとマイナスが違うだけなんだ。

TAKA

ほんとだ！
・反対方向（出会う）：2人で協力して1周を作るから 足し算（140x + 100x = 1200）
・同じ方向（追いつく）：速い兄が1周分多く走るから 引き算（140x - 100x = 1200）
じゃあ（2）の引き算の式も最後まで解くよ！
140x - 100x = 1200
40x = 1200
両辺を 40 で割って、x = 30 ！
（2）の答えは 30分後 だ！

NORI

念のため、30分間で2人がそれぞれ何m進んだか確かめ算（検算）してみよう！

TAKA

えっと、30分後だと……
・兄の進んだ道のり：140\text{ m} \times 30\text{ 分} = 4200\text{ m}（池3周と半分！）
・弟の進んだ道のり：100\text{ m} \times 30\text{ 分} = 3000\text{ m}（池2周と半分！）
引き算すると 4200\text{ m} - 3000\text{ m} = 1200\text{ m} で、本当に兄がぴったり池1周分（1200m）多く走って同じ地点で追いついてる！すごい、気持ちいいくらいスッキリ解けたよ！

04. 今回の攻略まとめ（池の周りを回る2パターン編）

次回・第6回は、速さシリーズの最終回（第4弾）として、多くの人が「電車の長さを足すのか引くのか」で混乱する名物問題——「【速さ④】列車が橋やトンネルを渡る問題」を図解で完全攻略します！

■ 連載「NORIとTAKAの『一次方程式の文章題』完全攻略（全9回）」：
・第1回：【過不足①】アメを配る問題
・第2回：【過不足②】長椅子（ベンチ）に座る問題
・第3回：【速さ①】忘れ物を追いかける問題
・第4回：【速さ②】途中で速さが変わる問題
・第5回：【速さ③】池の周りを回る問題（本記事）
・第6回：【速さ④】列車が橋（トンネル）を渡る問題（次回公開）
・第7回：【割合①】原価・定価・割引の買い物問題
・第8回：【割合②】昨年と今年の生徒数の増減問題
・第9回：【割合③】食塩水の濃度の問題

■ あわせて読みたい（STEM LAB 数学的思考論）：
➔ 『容疑者Xの献身』に学ぶ数学的思考の核心｜「一見すると幾何学に見えるが、実は関数の問題だ」を2つの入試典型問題とグラフで解剖する